終生飼育することが飼い主の責任であり義務です。
もう一度、下記のことを確認してください。

• どうしても、飼い続けることはできませんか。
• 家族全員が飼い続けられないことに同意していますか。

どうしても、犬・猫を飼育できない場合は

1. 譲渡先を探してください（親戚、友人、チラシなど）。新しい飼い主を探すことも、飼い主の責務です。最大限の努力をしてください。
2. 飼育できない事情があり、譲渡先を探す努力をしたがどうしても見つからない場合、保健所にご相談ください。
   （補足）
   保健所で引取られた犬・ねこの大部分は、殺処分されてしまいます。
   動物を捨てることは犯罪です（100万円以下の罰金）。